Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора.
Шаги решения:
1. Обозначим стороны прямоугольного параллелепипеда: AB = a, BC = b, CD = c.
2. Так как DC1 = 1, то DC = c – 1.
3. Заметим, что B1C1 = BC – BB1 = b – 2.
4. По теореме Пифагора в треугольнике ABC1 имеем: AC1^2 = AB^2 + B1C1^2.
5. Подставим известные значения: AC1^2 = a^2 + (b – 2)^2.
6. Диагональ C1A – это сторона прямоугольного параллелепипеда, примыкающая к точке C1. То есть AC1 = AC, так как CA1 = AC.
7. По теореме Пифагора в треугольнике ABC имеем: AC^2 = AB^2 + BC^2.
8. Подставим известные значения: AC^2 = a^2 + b^2.
9. Теперь, зная, что AC1 = AC, можем записать AC^2 = AC1^2.
10. Подставим значения AC^2 и AC1^2, полученные на предыдущих шагах: a^2 + b^2 = a^2 + (b – 2)^2.
11. Раскроем скобки и упростим выражение: a^2 + b^2 = a^2 + b^2 – 4b + 4.
12. Уравнение a^2 + b^2 = a^2 + b^2 – 4b + 4 означает, что -4b + 4 = 0, или b = 1.
13. Получаем, что BC = 1.
14. Теперь, зная стороны AB и BC, можем найти диагональ AC по теореме Пифагора: AC = √(AB^2 + BC^2) = √(a^2 + 1^2).
15. Но по условию DC1 = 1, то есть DC = 2 – 1 = 1. Так как AC1 = AC, то AC = DC.
16. То есть √(a^2 + 1^2) = 1.
17. Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем: a^2 + 1 = 1.
18. Значит, a = 0.
19. В итоге, получаем, что стороны прямоугольного параллелепипеда равны 0, 1, 2.
20. Диагональ C1A равна AC1, а по теореме Пифагора:
AC1 = √(AB^2 + B1C1^2) = √(0^2 + 2^2) = √4 = 2.
Ответ: Длина диагонали C1A равна 2.