Дано: гипотенуза (AB) = 10 см, катет (BC) = 8 см.
Требуется найти длины отрезков, на которые биссектриса прямого угла (BD) делит гипотенузу.
Шаги решения:
1. Найдем длину второго катета (AC) с помощью теоремы Пифагора:
AC^2 = AB^2 – BC^2
AC^2 = 10^2 – 8^2
AC^2 = 100 – 64
AC^2 = 36
AC = √36
AC = 6 см
2. Найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы площади:
S(ABC) = (1/2) * AB * BC
S(ABC) = (1/2) * 10 * 8
S(ABC) = 40 кв.см
3. Найдем площади треугольников ABD и ACD, образованных биссектрисой:
a) Треугольник ABD:
S(ABD) = (1/2) * AB * BD
S(ABD) = (1/2) * 10 * BD
b) Треугольник ACD:
S(ACD) = (1/2) * AC * CD
S(ACD) = (1/2) * 6 * CD
Заметим, что S(ABD) + S(ACD) = S(ABC) (площадь всего треугольника ABC).
4. Подставим известные значения в уравнение выше и найдем BD:
(1/2) * 10 * BD + (1/2) * 6 * CD = 40
5 * BD + 3 * CD = 40
5 * BD = 40 – 3 * CD
BD = (40 – 3 * CD) / 5
5. Заменим CD на выражение AC – BD:
CD = AC – BD
CD = 6 – BD
6. Подставим полученное значение CD в уравнение 5 и найдем BD:
BD = (40 – 3 * (6 – BD)) / 5
BD = (40 – 18 + 3*BD) / 5
5BD = 22 + 3BD
2BD = 22
BD = 22/2
BD = 11 см
Таким образом, длины отрезков, на которые биссектриса прямого угла делит гипотенузу, равны 11 см и 9 см (10 – 11 = 9).