Пусть а и b – катеты прямоугольного треугольника, а с – гипотенуза.
По условию известно, что биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки 5 и 13. Пусть x – длина меньшего катета, тогда длина большего катета будет (x+8) (так как 5+13=18, и находим разность 18-5-13=0 и получаем (x+8)).
Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные биссектрисой острого угла. Из свойств биссектрисы известно, что отношение длины гипотенузы (с) к отрезкам, на которые она делит противолежащий катет (a) равно отношению длины биссектрисы к другому катету.
То есть с/x=13/5 и c/(x+8)=5/13.
Решим данную систему уравнений:
с/x=13/5 => с=(13/5)*х,
с/(x+8)=5/13 => с=(5/13)*(х+8).
Приравниваем оба выражения с:
(13/5)*х=(5/13)*(х+8).
Раскрываем скобки, домножаем каждое слагаемое на 65, приводим подобные слагаемые:
169*х=25*(х+8).
169*х = 25*х + 200.
Отнимаем 25*х от обеих частей уравнения:
144*х = 200.
Делим обе части уравнения на 144:
х ≈ 1.39.
Таким образом, длина меньшего катета прямоугольного треугольника составляет примерно 1.39.