В прямоугольную трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность c центром в точке O, которая делит точкой касания K большую боковую сторону на отрезки 2 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности.

Шаг 1: Построим рисунок и обозначим известные данные. Пусть точка M – точка касания окружности с меньшей основой BC, точка N – точка касания окружности с боковой стороной AD.

Шаг 2: В прямоугольной трапеции ABMK диагонали AM и BK имеют равные длины, так как они – радиусы вписанной окружности и перпендикулярны соответствующим сторонам.

Шаг 3: По условию задачи, отрезок KM равен 2 см, а отрезок KN равен 8 см.

Шаг 4: Обозначим через x длину отрезка NK.

Шаг 5: Так как AM и BK равны, то отрезок BN равен 8 см – x.

Шаг 6: Рассмотрим прямоугольный треугольник BKN. Используя теорему Пифагора, можем записать: BN^2 = BK^2 – KN^2.

Шаг 7: Подставим значения известных длин в формулу из шага 6: (8 – x)^2 = (8 + x)^2 – 4.

Шаг 8: Раскроем скобки и упростим выражение: 64 – 16x + x^2 = 64 + 16x + x^2 – 4.

Шаг 9: Сократим одинаковые слагаемые: -16x = 16x – 4.

Шаг 10: Перенесем одинаковые слагаемые в одну часть уравнения: -32x = -4.

Шаг 11: Разделим обе части уравнения на -32, чтобы найти значение x: x = -4 / -32 = 1/8.

Шаг 12: Зная значение x, найдем длину отрезка NK: NK = 8 – x = 8 – 1/8 = 63/8.

Шаг 13: Теперь можем найти площадь прямоугольной трапеции с помощью формулы: S = (a+b)*h/2, где a и b – основания трапеции, h – высота трапеции.

Шаг 14: Заметим, что h равна радиусу вписанной окружности, то есть h = MK.

Шаг 15: Длина MK равна полусумме оснований трапеции, то есть MK = (BC + AD) / 2.

Шаг 16: Подставим значения известных длин в формулу из шага 15: MK = (8 + 2) / 2 = 10 / 2 = 5.

Шаг 17: Подставим значения из шагов 13 и 16 в формулу для площади трапеции: S = (BC + AD) * MK / 2 = (8 + 2) * 5 / 2 = 10 * 5 / 2 = 25.

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 25 квадратным сантиметрам.