На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Рассмотрим треугольник АКС, где АК – радиус вписанной окружности. Так как К – точка касания окружности и стороны АС, то угол КАС является прямым (90°).
Расстояние от точки В до точки К можно найти через расстояние от точки В до точки А и расстояние от точки А до точки К. По теореме Пифагора:
(ВК)² = (ВА)² + (АК)²
Продолжим наше решение.
Обозначим (ВА)² = х и найдём АК.
Так как КАС – прямоугольный треугольник АК и AK – радиус вписанной окружности, то теорема Пифагора применима:
(АК)² = (AC)² – (KC)².
AC – гипотенуза треугольника АКС и равна AC = АС√2 (по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника АСВ).
KC – катет треугольника АКС и равен радиусу окружности, то есть КС = 2.
Подставим значения:
AC = АС√2.
KC = 2.
Вернёмся к формуле (АК)² = (AC)² – (KC)² и найдем АК.
После замены значений получим: (АК)² = (АС√2)² – 2².
Раскроем скобки, упростим и получим: (АК)² = 2АС² – 4.
Теперь перейдём к формуле (ВК)² = (ВА)² + (АК)².
Подставим (АК)² = 2АС² – 4 и алгебраически упростим выражение:
(ВК)² = х + (2АС² – 4).
Теперь найдем значение х, используя формулу синусов:
sin(60°) = ВА / АС.
Так как ВА = √х и АС = АС, то:
х = (АС * sin(60°))².
Итак, мы нашли значения х и АК, теперь можем подставить их в формулу (ВК)² = х + (2АС² – 4).
(ВК)² = (АС * sin(60°))² + (2АС² – 4).
(ВК)² = АС² * sin²(60°) + 2АС² – 4.
Так как sin²(60°) = 3/4, то:
(ВК)² = АС² * (3/4) + 2АС² – 4.
АС можно найти через теорему Пифагора для треугольника АВС:
АС² = АВ² + ВС².
Так как угол В = 90°, то АВ² = АС² – ВС².
АС² – ВС² = АС².
ВС² = 0, следовательно, ВС = 0 и АВ = АС.
Таким образом, АС² = 2АВ².
Подставим АС² = 2АВ² в формулу (ВК)² = АС² * (3/4) + 2АС² – 4:
(ВК)² = 2АВ² * (3/4) + 2 * 2АВ² – 4.
(ВК)² = 3АВ² + 4АВ² – 4.
(ВК)² = 7АВ² – 4.
Теперь найдем ВК:
ВК = √((7АВ² – 4)).
Таким образом, расстояние от точки В до точки К равно √((7АВ² – 4)). Это даст нам окончательный ответ.
