Обозначим точку, где прямоугольник касается катета длиной 5, через A, а точку, где прямоугольник касается катета длиной 12, через B. Проведем отрезок AB, который будет являться основанием прямоугольника, а точку пересечения гипотенузы и отрезка AB обозначим как M. Тогда получим, что AM и BM являются высотами прямоугольника.
Так как площадь прямоугольника составляет четверть от площади треугольника, то отношение площадей S(R) и S(ABC) будет равно 1/4. То есть, S(R) = S(ABC) / 4.
Площадь прямоугольника S(R) можно выразить через длины его сторон: S(R) = AB * AM = AB * BM.
Площадь треугольника ABC можно выразить через длины его сторон: S(ABC) = AB * AC / 2 = AB * BC / 2.
Подставим эти выражения в уравнение S(R) = S(ABC) / 4: AB * AM = (AB * BC / 2) / 4.
Упростим уравнение: AM = BC / 8.
Так как AM является прилежащим катетом прямоугольного треугольника PAM или PBQ, а BC является противоположным катетом, то получаем, что расстояние PQ равно BC / 8.
Расстояние BC равно гипотенузе треугольника ABC с длиной 13, так как AC^2 + BC^2 = AB^2, где AC = 5 и AB = 12.
Таким образом, расстояние PQ = BC / 8 = 13 / 8 = 1.625.
Ответ: расстояние PQ равно 1.625.