В равнобедренной трапеции ABCD (AD – большее основание) угол при основании равен 60 градусов. В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции ABCD, если площадь трапеции MBCN равна 10, M и N – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции ABCD.

Обозначим точку касания окружности с основанием AD как P. Поскольку MBCN – трапеция, то MP и NC это две срединные линии трапеции ABCD. Поэтому MP и NC равны половине основания трапеции, то есть AD/2.

Поскольку угол при основании равнобедренной трапеции ABCD равен 60 градусов, то угол MPC, а также угол NCB, также равны 60 градусов (так как это углы между радиусом и касательной, проведенными к одной и той же точке касания).

Таким образом, треугольники MPC и NCB – равнобедренные треугольники с углами 60, 60 и 60 градусов. У этих треугольников боковые стороны равны MP и NC соответственно, что мы уже выяснили равными AD/2.

Значит, треугольники MPC и NCB – равносторонние треугольники. Поэтому длина боковой стороны разделит трапецию на две равносильные части. Таким образом, площадь трапеции ABCD равна удвоенной площади трапеции MBCN.

Мы знаем, что площадь трапеции MBCN равна 10. Поэтому площадь трапеции ABCD равна 2 * 10 = 20.

Ответ: площадь трапеции ABCD равна 20.