В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) точка M — середина стороны AB, а точка K на стороне AC такова, что ABK = BKA. Оказалось, что KB = KM. Докажите, что 2AC = 3AB.

Доказательство:

1. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то АВ = ВС.
2. Поскольку точка М – середина стороны AB, АМ = МВ.
3. Поскольку KB = KM, по теореме о равных хордах (или по свойству хорд, проведенных из точки на равном расстоянии от центра окружности), мы можем заключить, что угол ABK = угол MKB.
4. Угол ABK = угол BKA, по условию.
5. Из пунктов 3 и 4 следует, что угол BKA = угол MKB.
6. Из равенства углов MKB и MKB следует, что треугольник KMB – равнобедренный (косинусная теорема для cos(угол BKM)).
7. В равнобедренном треугольнике KMB, KB = KM и углы MKB и KMB – равны, значит, стороны KB и BM равны.
8. Заметим, что треугольник BKM и треугольник BAC подобны по общему углу (по теореме об угле между биссектрисами).
9. Так как соотношение сторон в подобных треугольниках равно отношению соответствующих сторон, KB/BK = BM/AC.
10. Из пунктов 7 и 9 KB/BK = 1 и BM/AC = 1.
11. Так как KB/BK = 1, KB = BK, то BM = AC.
12. Следовательно, AC = BM.
13. Поскольку АМ = МВ и AC = BM, то AC = АМ = МВ.
14. Таким образом, 2 * AC = 2 * АМ = 2 * MV, а 3 * АВ = 3 * АМ = 3 * MV.
15. Отсюда следует, что 2 * AC = 3 * AB, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике ABC с точками M и K, такими что KB = KM и угол ABK = угол BKA, выполняется равенство 2 * AC = 3 * AB.