В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC на продолжении боковой стороны AC за точку A взята точка D так, что AD=2AC. При этом оказалось, что BD=BC. Найдите величину угла (в градусах) при вершине A треугольника ABC.

Рассмотрим треугольник ABD. У него две стороны – AB и BD – равны между собой. Значит, этот треугольник – равнобедренный. Также, по условию, AD = 2AC. Давайте обозначим углы ABD и ADB через x.

Так как треугольник ABD равнобедренный, то у него угол x при вершине A равен углу BDA. А так как BAD – внешний угол треугольника BDC, то из свойств внешних углов получаем, что BAD = BDA + ABD.

Так как углы ABD и ADB равны между собой, то ABD = ADB = x.

Подставим полученные значения в равенство BAD = BDA + ABD:

2x = x + x,

2x = 2x.

Таким образом, мы получили, что угол BAD = BDA + ABD.

Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то

x + 2x + x = 180,

4x = 180,

x = 45.

Таким образом, угол BAD = BDA + ABD = 45 + 45 = 90 градусов.

Ответ: угол при вершине A треугольника ABC равен 90 градусов.