В равнобедренном треугольнике АВС точки К и М явля- ются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD – медиана треугольника. Докажите, что ABKD = ABMD.

Доказательство будет проведено путем рассмотрения двух треугольников: ABK и BMD.

1. Так как К и М являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно, то KM будет параллельна стороне BC и равна ей наполовину.

2. Рассмотрим треугольник АКМ. Так как KM || BC и KM = BC/2, то из параллельных граней следует, что отношение сторон треугольников АКМ и АBС равно:

AK/KC = AM/MB = 1.

3. Треугольники АКМ и АНК подобны по принципу сходных треугольников, так как имеют угол А общим между стороной АК и его продолжением.

4. Из подобия треугольников АКМ и АНК можно выразить соотношение:

AK/KM = AN/NC.

Поскольку AK/KC = 1, то и AN/NC = 1.

5. Заметим, что угол АKD совпадает с углом AMB, так как AB || KM и AD – медиана треугольника ABC.

6. Следовательно, треугольники АКD и AMB подобны по признаку общего угла.

7. Так как сторонам треугольников АКД и АМВ соответствуют равные стороны треугольников АКМ и АНК, то данные треугольники равны по теореме о равных соотношениях (ТСР).

8. Таким образом, АBKD = ABМD.