На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Введем обозначения:
1) Определим точку M как середину стороны KP.
2) Пусть H – точка пересечения биссектрисы треугольника KFP, опущенной из вершины K, c основанием ФМ.
3) Пусть D – точка пересечения отрезков KH и AF.
Так как треугольник KFP равнобедренный с основанием KF, то стороны KP и FP равны. Более того, точка М – это середина стороны KP, поэтому отрезок FM – медиана треугольника KFP, а значит, HM – высота. Также, треугольник KHF является прямоугольным, так как угол КHM равен 90 градусам. Таким образом, треугольник KHF является прямоугольным в точке H.
Также, по условию задачи, PC = PS. Это означает, что точка P лежит на биссектрисе треугольника СФС. Так как треугольник KFP равнобедренный, то биссектрисы углов ФКП и ФПК являются медианами и высотами. Таким образом, отрезок PH является медианой треугольника КФС, и одновременно, высотой треугольника КФС.
Итак, мы можем заметить следующее:
1) HM – высота треугольника КФС, а значит, HM перпендикулярна СФ.
2) HP – медиана треугольника КФС, а значит, HP делит СФ пополам.
3) Точка H лежит на СФ (потому что мы взяли H как точку пересечения биссектрисы треугольника KFP и медианы треугольника КФС).
Теперь мы можем сделать следующие выводы:
1) Отрезки CF и AK пересекаются в точке D (по свойству биссектрисы угла КФС).
2) Отрезок HD перпендикулярен AC (по свойству высоты треугольника КФС).
3) Заметим, что треугольник CFH подобен треугольнику AKH (по двум углам).
4) Значит, угол AFC равен углу AKP.
5) Так как угол AKP равен углу ASP (как вертикальные углы), то угол AFC равен углу ASP.
6) Таким образом, треугольники AFC и ASP равны по стороне, радиусу описанной окружности и углу между этими сторонами (по теореме об обратной задаче сходства треугольников).
7) Отсюда следует, что угол КАС равен углу ПКС.
8) Также, угол КАС равен углу ПКС (по вертикальным углам).
9) Таким образом, углы ПКС и ПСК равны.
10) Значит, треугольник AKS подобен треугольнику CPC (по двум углам).
11) Так как треугольники AKS и CPC подобны, то их стороны также пропорциональны.
12) Значит, KP/AP = PC/PS.
13) Отсюда следует, что AKSP и AFCP равны по двум сторонам и углу между ними (по теореме об обратной задаче сходства треугольников).
Таким образом, мы доказали, что треугольники AKSP и AFCP равны.
