Пусть точка O – центр вписанной окружности. Так как OA, OB, OC и OD – радиусы окружности, он проходит через точки пересечения диагоналей трапеции ABCD. Обозначим их как M и N. Также обозначим точку пересечения боковой стороны AB с диагональю BD как K.
Поскольку AB и CD являются параллельными сторонами трапеции ABCD, угол ABO равен углу DCO (поскольку это противоположные углы). Кроме того, угол BAO равен углу CDO (поскольку это углы, которые опираются на дугу окружности, которая делит их пополам).
Из этих двух равенств можно заключить, что треугольники AOB и COD подобны. Поэтому AO/OD = BO/OC. Используя свойство вписанных углов, запишем следующее:
AO/OD = BO/OC = AB/CD.
Известно, что BD = 5 и AB + CD = PA + PC = 16. Также из условия задачи известно, что PA + PB + PC + PD = 16. Заметим, что PA + PD = BC = AB + CD.
Таким образом, AB + CD = BC = PA + PB + PC + PD = 16.
Исключим CD из этих двух равенств:
AB + 16 – AB = 5,
16 = 5,
что является очевидным противоречием.
Такой трапеции не существует, и задача не имеет решения.