Рассмотрим трапецию АВCD, где AB и CD — основания, а BC и AD — боковые стороны. Пусть точка О — центр вписанной окружности. Из свойств окружности, радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до любой её точки.
Так как треугольник ABC является равнобедренным, то точка О лежит на линии симметрии треугольника ABC, что означает, что BC является высотой треугольника ABC. Пусть H — высота треугольника ABC, тогда BH = CH = h.
Рассмотрим прямоугольные треугольники BHO и BCD. Треугольник BHO — равнобедренный, так как BH = h и HO — радиус окружности. Треугольник BCD — прямоугольный. Отсюда получаем, что BO является высотой треугольника BCD. Обозначим BO = h1 и CO = h2.
Заметим, что треугольники ABO и CDO подобны, так как угол ABO равен углу CDO (углы при основаниях равнобедренных трапеций равны). Тогда можно записать отношение подобия:
AB/CD = BO/DO
Так как AB = CD, то BO = DO.
Обозначим AB = CD = a, то BC = AD = 6 см.
Из подобия треугольников ABO и CDO получаем:
a/6 = h/h1
Аналогично, из подобия треугольников BCO и CDO получаем:
6/a = h/h2
Так как BO = DO и AB = CD, то a/6 = h/h2.
Таким образом, h1 = h2.
Тогда, a/6 = h/h1 = h/h2 = 6/a
Перемножим оба равенства:
(a/6)^2 = h/h1 * h/h2 = h^2/h1^2 = 6/a * 6/a = 36/a^2
a^2 = 36
a = 6 см
Периметр трапеции равен сумме длин ее сторон:
P = AB + BC + CD + AD = a + 6 + a + 6 = 2a + 12
P = 2 * 6 + 12 = 12 + 12 = 24 см
Ответ: периметр трапеции равен 24 см.