Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB и CD – основания, а AD и BC – боковые стороны. Пусть O – центр вписанной окружности, а r – её радиус. Дано, что r = 2 и BC = 10.
Поскольку O – центр окружности, проведем перпендикуляр к AB из точки O и обозначим его точкой E. По свойству окружности, OE – радиус окружности – перпендикулярен, значит, OE является высотой трапеции.
Обозначим точку пересечения EH и AB через F, а точку пересечения EH и AD через G.
Поскольку FG параллельна и равна BC, то фигуры FGHB и ABCD подобны. Значит, соответствующие стороны пропорциональны. Найдем длину FG с помощью пропорции:
FG / BC = r / OE
FG / 10 = 2 / 2
FG = 10
Так как FG равен стороне трапеции, а одна из оснований равно BC = 10, то FGHB – квадрат.
Теперь найдем площадь трапеции ABCD. Так как FGHB – квадрат, площадь фигуры равна площади ABCD минус площадь квадрата FGHB.
Площадь ABCD равна (AD + BC) * OE / 2, где OE – высота трапеции.
Определим OE, исходя из того, что FGHB – квадрат и FG = 10. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике FGB:
OE^2 = OF^2 + FG^2
OE^2 = r^2 + FG^2
OE^2 = 2^2 + 10^2
OE^2 = 104
OE = √104
Таким образом, площадь ABCD равна ((AD + BC) * OE / 2) – FG^2, где AD и BC это основания трапеции, a OE = √104 и FG = 10.
Теперь осталось только рассчитать получившееся выражение.