Доказательство:
Введем следующие обозначения:
Пусть P – точка пересечения высот треугольника ABC, а M – середина стороны BC.
Также, обозначим векторы точек O, B и C как $vec{OO}$, $vec{OB}$ и $vec{OC}$.
1. Треугольник ABC является равносторонним, поэтому все его стороны равны между собой: AB = BC = AC.
2. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и AC в точках D, E и F соответственно.
3. Согласно теореме о вписанных углах, угол ADE является прямым, поскольку сторона AD является касательной к окружности в точке D.
4. Треугольник ADE является равнобедренным, так как сторона AE (таже являющаяся касательной) и сторона AD (также равная радиусу окружности) равны между собой.
5. Из пункта 4 следует, что угол AED равен 60 градусам, так как треугольник ADE является равносторонним.
6. Треугольники ABC и AMB являются подобными, так как углы треугольников ABC и AMB имеют одинаковые значения: угол ABC равен углу AMB (так как это вписанный угол), угол BAC равен углу MBA (так как треугольник равносторонний), и угол ACB равен углу MAB (так как у которого это противолежащий угол).
7. Из пункта 6 следует, что отношение сторон треугольников ABC и AMB равно отношению их высот, то есть:
AB / BC = AP / PM
8. Так как треугольник ABC равносторонний, то AB / BC = 1. Также, так как точка P находится на стороне AM, AP / PM = 2.
9. Из пунктов 7 и 8 следует, что 1 = 2, что невозможно.
10. Поэтому, предположение о существовании точки P, пересекающейся с отрезком AM, неверно.
11. Следовательно, точки O, B и C лежат на одной прямой, и вектор OB является касательной к окружности с центром O в точке B.
12. Вектор AC является радиусом окружности в точке C.
13. Касательная и радиус, проведенные к окружности из одной точки, перпендикулярны.
14. Следовательно, векторы OB и AC перпендикулярны.
15. Скалярное произведение векторов OB и AC равно 0, так как они перпендикулярны (скалярное произведение равно нулю, если угол между векторами равен 90 градусов).
Таким образом, скалярное произведение векторов OB и AC равно нулю.