В ромб вписана окружность, радиус которой равен R и в четыре раза меньше большей диагонали ромба. Определить площадь каждой из фигур, ограниченных отрезками двух смежных сторон ромба от вершины до точек касания и меньшей дугой окружности, лежащей между точками касания.

Обозначим сторону ромба через a и большую диагональ через d. Пусть O – центр окружности, вписанной в ромб, и P – точка касания окружности с одной из сторон ромба.

1. Поскольку R равен четырем разам меньшей диагонали, мы можем записать: R = d / 4.

2. Заметим, что треугольник OPA – равнобедренный, поскольку две стороны OP и OA равны радиусу окружности R, а угол OAP – прямой. Таким образом, угол OPA равен углу OAP.

3. Поскольку диагонали ромба делят его на равнобедренные треугольники, то угол между диагоналями ромба равен двойному углу OPA.

4. Таким образом, угол между диагоналями ромба равен 2 * OPA.

5. Из равнобедренности треугольника OPA, у нас есть: sin(OPA) = R / OA.

6. Из треугольника OAP, мы можем найти OA с помощью теоремы Пифагора: OA^2 = OP^2 + AP^2.

7. Так как OP = R и AP = a / 2 (поскольку AP – это половина стороны ромба), мы можем записать: OA^2 = R^2 + (a / 2)^2.

8. Подставляя R = d / 4, мы получаем: OA^2 = (d / 4)^2 + (a / 2)^2.

9. Из теоремы Пифагора, у нас также есть: d^2 = 4a^2 + 4(a / 2)^2.

10. Решая эти два уравнения, мы можем найти значения a и d.

11. Площадь большего равна S1 = (d * a) / 2, а площадь меньшего равна S2 = (2 * R * a) / 2.

Таким образом, введя дополнительные переменные и решив систему уравнений, мы можем найти площади обоих фигур, ограниченных отрезками двух смежных сторон ромба от вершины до точек касания и меньшей дугой окружности, лежащей между точками касания.