Переберем все возможные варианты для множества точек M, N, P, которые являются серединами ребер AB, BC, CD соответственно. Обозначим точки M, N, P для каждого из вариантов как M1, N1, P1 и так далее.
Пусть точки M, N, P являются серединами ребер AB, BC, CD соответственно, а точка D лежит в плоскости MNP. Обозначим точку пересечения прямой BD с плоскостью MNP как точку X.
Так как M, N, P являются серединами соответствующих ребер, то векторы AM и MB равны, векторы BN и NC равны, а векторы CP и PD равны. Обозначим эти векторы как a, b и c соответственно. Тогда векторы AM1, M1B, BN1, N1C, CP1 и P1D равны соответственно векторам a, b, b, c, c и a.
Рассмотрим треугольник CN1P1. Так как точки N1 и P1 являются серединами ребер BC и CD, то вектор NP1 равен вектору b. Аналогично, из треугольников CM1N1 и CP1M1 следует, что векторы MN1 и MP1 равны векторам c и a соответственно.
Теперь рассмотрим треугольник CXN1. Из равенства векторов MB и M1B следует, что вектор MX равен вектору M1X. Аналогично, из равенств векторов BN и N1C и векторов CP и P1D следует, что векторы NX и XN1, а также векторы XP и XP1 равны.
Таким образом, треугольники CXN1, CXM1 и CXN имеют равные стороны и, следовательно, равны. Поэтому эти треугольники подобны. Значит, углы CXN1 и CXN равны.
Но углы CXN1 и CXN оба прямые, так как прямая BD параллельна плоскости MNP и проходит через точку X. Значит, они равны нулю.
Таким образом, прямая BD параллельна плоскости MNP.