Пусть сторона AD равна 2x, а сторона BC – x (согласно условию, AD_BC=2:1). Тогда сторона AE равна 3x/2 (так как E – середина стороны BC), а сторона AB равна 5x/2 (в силу свойств пропорций трапеции).
Площадь треугольника AED равна 1/2 * AE * AD = 1/2 * (3x/2) * (2x) = 3x^2 см². По условию, эта площадь равна 60 см².
Таким образом, 3x^2 = 60. Решая это квадратное уравнение, получим x^2 = 20 и x = ±√20, где √20 – квадратный корень из 20.
Поскольку сторона BC не может быть отрицательной, оставляем положительное значение x = √20.
Теперь можем найти все стороны трапеции: AD = 2x = 2√20, BC = x = √20, AE = 3x/2 = 3√20/2, AB = 5x/2 = 5√20/2.
Площадь всей трапеции можно найти по формуле: S = 1/2 * (AD + BC) * h, где h – высота трапеции, а (AD + BC)/2 – средняя линия.
Средняя линия AB равна (AD + BC)/2 = (2√20 + √20)/2 = (3√20)/2.
Высоту трапеции найдём, разделив площадь треугольника AED на длину AB: h = (2 * 60) / (5√20/2) = (120 * 2) / (5√20) = 240 / (5√20) = 48 / √20 = 48 * (√20/20) = 48 * (√4 * √5 / 20) = 48 * (2 / 20) = 48 * 0,1 = 4,8 см.
Теперь подставим все значения в формулу площади трапеции: S = 1/2 * ((2√20 + √20)/2) * 4,8 = 1/2 * (3√20/2) * 4,8 = (3√20 * 4,8) / 4 = 14,4√20 / 4.
Ответ: площадь трапеции равна 14,4√20 / 4.
Окончательно упростим ответ: 14,4√20 / 4 = 3,6 * √20 = 3,6 * (√4 * √5) = 3,6 * (2 * √5) = 7,2√5.