В трапеции ABCD через точку O пересечения диагоналей проведён отрезок MN параллельно основаниям ADи BC. 1. Докажи, что отрезок в точке O делится пополам (напиши выражения отрезков MO и ON через основания AD=x и BC=y): 2. Определи длину отрезка, если AD=10 см и BC=2 см 2. Ответ запиши в виде не сокращённой дроби:

1. Для доказательства, что отрезок MN делит точку O пополам, обратимся к подобным треугольникам. Так как MN || AD и MN || BC, то треугольники MOB и NOA подобны треугольнику COA (по признаку трёх пар одинаковых углов), где M, O, B – соответственно вершины треугольника MOB, NOA и треугольника COA, N, O, A.
Запишем соответствующие отношения для треугольников: MO/CO = BO/AO и NO/CO = AO/BO.
Из данных отношений получаем, что MO/NO = BO/AO * AO/BO = 1, то есть, MO = NO, что и требовалось доказать.

2. По условию, AD = 10 см и BC = 2 см. Так как отрезок MN делит точку O пополам, то MO = NO.
Обозначим MO = NO = x (в см).
Тогда CO = AD – MO = 10 – x и CO = BC – NO = 2 – x.
Так как CO должно быть одинаковым по длине из обоих равенств, то получим уравнение: 10 – x = 2 – x.
Решим его: 8 = 0, следовательно, x = 4.

Ответ: длина отрезка MN равна 4 см.