В трапеции ABCD основания AB и CD имеют длины 5 и 3 соответственно, боковая сторона AD перпендикулярна основаниям. На основании CD как на диаметре построена окружность, которая пересекает диагонали AC и BD в точках M и N. Известно, что N – середина отрезка BD. Определить, в каком отношении точка M делит отрезок AC.

Пусть точка O – центр окружности, построенной на основании CD как на диаметре. Так как M и N – точки пересечения окружности с диагоналями, то MBOD и NAOC – трапеции.

Обозначим построенные ординаты OM и ON через x. Так как N – середина отрезка BD, то DN = NB, а значит, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ONB:

x^2 + 1^2 = left(frac{3}{2}right)^2
4x^2 = frac{9}{4} – 1 = frac{5}{4}
x^2 = frac{5}{16}
x = frac{sqrt{5}}{4}

Теперь посмотрим на OAC. Так как MO является высотой треугольника OAC, а ON является его медианой, то ON = frac{2}{3}OM. Так как ON = 1 и OM = frac{sqrt{5}}{4}, получаем:

frac{sqrt{5}}{4} = frac{2}{3}OM
OM = frac{3}{2}timesfrac{sqrt{5}}{4}
OM = frac{3sqrt{5}}{8}

Теперь можем найти длину AM:

AC = AO + OM
AC = sqrt{3^2 + 1^2} + frac{3sqrt{5}}{8}
AC = sqrt{10} + frac{3sqrt{5}}{8}

Отношение, в котором точка M делит отрезок AC, будет равно:

frac{OM}{AM} = frac{frac{3sqrt{5}}{8}}{sqrt{10} + frac{3sqrt{5}}{8}} = frac{3sqrt{5}}{8}timesfrac{8}{3sqrt{5} + 8sqrt{10}} = frac{1}{3sqrt{5} + 8sqrt{10}}