Для решения задачи воспользуемся теоремой подобных треугольников.
1. Обозначим длину средней линии как х. Так как ВО:ОК=2:3, то можно записать соотношение: ВО/ОК=2/3. Заметим, что ОК является прямой диагональю и делит треугольник около него на два подобных друг другу треугольника.
2. Разделим среднюю линию на две части: х = х1 + х2. Тогда ВО/ОК = (х1 + х2)/х2, так как ВО равно длине полной средней линии, а ОК равно х2, то соотношение остается таким же: ВО/ОК = (х1 + х2)/х2 = 2/3.
3. Разделим основания треугольников ВОК и ВАО на х2: ВЗ/ОК = ДП/ОК = (х1 + х2)/х2. Из условия задачи известно, что ВС = 12 см, а ВЗ = ДП, следовательно, можно записать следующее соотношение: 12/ОК = (х1 + х2)/х2.
4. Подставим значение ОК = 12 в предыдущее соотношение: 12/12 = (х1 + х2)/х2. Упростим: 1 = (х1 + х2)/х2.
5. Выразим х1 через х2: х1 = х2 – х2/х2 = х2 – 1.
6. Подставим данное значение х1 в исходное равенство ВО/ОК = 2/3: 12/12 = (х2 – 1 + х2)/х2. Упростим: 1 = (2х2 – 1)/х2.
7. Умножим обе части уравнения на х2: х2 = 2х2 – 1.
8. Выразим х2: х2 = 1.
9. Найдем х1, подставив значение х2 в выражение х1 = х2 – 1: х1 = 1 – 1 = 0.
10. Суммируем значения х1 и х2, чтобы получить длину средней линии, то есть х = 0 + 1 = 1.
Таким образом, длина средней линии равна 1 см.