Для начала рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD – основания, AC и BD – диагонали. Пусть M – середина стороны AB, а H – точка пересечения высоты, опущенной из тупого угла C, на сторону AD.
Так как диагонали в трапеции перпендикулярны, то AC и BD являются высотами треугольников ACD и BCD, соответственно. Отсюда следует, что треугольники ACD и BCD равновелики, так как имеют одинаковые основания и равные высоты.
Поскольку высота, проведенная из тупого угла C, равна средней линии, то HM = MC. Также, по свойству серединной линии треугольника, AM = MB.
Теперь обратим внимание на треугольник CHD. В нем угол DHC является прямым, так как проведена высота, а HM = MC. Из равенства сторон HM = MC следует, что треугольник DHM равнобедренный.
Значит, у треугольника CHD два угла равными и одна из сторон равна средней линии треугольника. Таким образом, треугольник CHD – также равнобедренный.
Так как треугольник ACD и треугольник CHD равнобедренные, то у них равны основания и вершины C и D. Следовательно, у трапеции ABCD основания AB и CD равны, и эта трапеция является равнобедренной.
Таким образом, мы доказали, что если в трапеции диагонали перпендикулярны, а высота, опущенная из тупого угла, равна средней линии, то трапеция равнобедренная.