Пусть ABCD – трапеция, AD || BC, AD > BC. Пусть E – точка пересечения диагонали AC и стороны BD.
Обозначим касательную к окружности радиусом 5 см, вписанной в треугольник ADE, как l1, касательную к окружности радиусом 10 см, вписанной в треугольник BEC, как l2.
Заметим, что отрезок DE является диаметром окружности радиусом 10 см, вписанной в треугольник BEC. Тогда DE = 20 см.
Пусть F – точка касания окружностей радиусом 5 см и 10 см со стороной AC.
Заметим, что треугольник AFE и треугольник DFE являются прямоугольными, так как AE и DE являются радиусами соответствующих окружностей. Тогда AF = FD = 5 см.
Отрезок AD можно разделить на два отрезка AB и CD так, что AB > CD.
Так как AD || BC, то треугольник ABC подобен треугольнику EDC по принципу “прямоугольник-катет” (треугольники ABC и AED подобны по двум углам, а треугольники AED и EDC подобны по двум углам). То есть, соотношение сторон треугольников ABC и EDC будет следующим: AB/CD = AE/DE.
Подставляя известные значения, получаем AB/CD = 5/20 = 1/4. Также, из симметрии трапеции очевидно, что AB = CD.
Исходя из этих равенств, получается система уравнений:
AB = CD,
AB/CD = 1/4.
Решая эту систему, находим AB = CD = x = 4 см.
Теперь можем найти периметр трапеции ABCD:
Периметр = AB + BC + CD + AD = 4 см + 4 см + 4 см + 5 см = 17 см.
Ответ: периметр трапеции равен 17 см.