В треугольник АВС, О точка пересечения биссектрис. Точка Е лежит на АС. АЕ:ЕС=АВ:ВС=2:3. Точка К не лежит в плоскости треугольника. Докажите, что точка Е лежит в плоскости ВОК.

Для доказательства того, что точка E лежит в плоскости ВОК, нужно показать, что прямая АЕ пересекает плоскость ВОК.

1. Проведем через точку О прямую ОМ, которая параллельна ВЕ и пересекает прямую АС в точке М. Так как АЕ:ЕС=АВ:ВС=2:3, то АМ:МС=2:3.

2. Проведем прямую ОК, которая параллельна АМ и пересекает прямую АС в точке К. В силу параллельности прямой ОК и АМ, АК:КС=АМ:МС=2:3.

3. Рассмотрим треугольник ОАК. Так как ОМ || АЕ и ОК || АМ, по теореме о параллельных прямых треугольник ВОМ подобен треугольнику ВАЕ, а треугольник ВОК подобен треугольнику ВАК.

4. Следовательно, отрезок ВК является биссектрисой угла В в треугольнике ВАК. А так как ВОК лежит в плоскости ОAK, а угол ВВО направлен в сниз к плоскости треугольника, то ВЕ должно пересекать плоскость ВОК в точке Е.

Таким образом, доказано, что точка Е лежит в плоскости ВОК.