В треугольник АВС провели провели прямую МN так, что точка М лежит на стороне ВС, а точка N – на стороне АС. Вокруг четырёхугольника АВМN описали окружность. Докажи, что треугольник СМN подобен САВ.

Для начала, обратим внимание на то, что углы BAC и MNC (или NMC) – вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу AM, следовательно, они равны.

Теперь обратимся к соответствующим углам. По условию, М лежит на стороне ВС, а N – на стороне АС. Следовательно, угол MCN равен углу В. Поскольку угол M равен углу BAC, то углы CMN и CAB также равны друг другу.

Наконец, обратимся к третьему соответственному углу. Угол С равен 180 градусов минус сумма углов AMB и ABC. В то же время, угол M равен углу BAC, и угол А равен углу МBA. Получается, что сумма углов А и М равна углу C.

Таким образом, треугольники СМN и САВ имеют две пары равных углов, а, следовательно, они подобны друг другу по признаку подобия треугольников.