Для решения данной задачи нужно найти прямоугольник, который можно вписать в треугольник и у которого площадь будет наибольшей возможной.
1. Пусть стороны прямоугольника, параллельные основанию треугольника, равны x, а сторона прямоугольника, параллельная высоте треугольника, равна y. Очевидно, что x <= 10 (условие вписывания) и y <= 8 (условие вписывания). 2. Выразим длину стороны x через y, используя подобие треугольников: x/y = 10/8 = 5/4. Получаем, что x = (5/4) * y. 3. Найдём площадь прямоугольника через стороны x и y: Площадь = x * y = (5/4) * y * y = (5/4) * y^2. 4. Так как у нас есть ограничение y <= 8, область, в которой нужно искать наибольшую площадь прямоугольника, является отрезком [0, 8] на числовой прямой. 5. Для нахождения максимальной площади прямоугольника нужно найти максимум функции площади Δ = (5/4) * y^2 на отрезке [0, 8]. 6. Для этого найдём точки, в которых функция Δ достигает своих экстремумов. Возьмём производную функции Δ по y и приравняем её к нулю: dΔ/dy = (10/4) * y = 0. Из этого уравнения получаем, что y = 0 и y = 8. 7. Проверяем значения функции Δ в найденных точках и на концах отрезка [0, 8]: Δ(0) = 0, Δ(8) = (5/4) * 8^2 = 80. 8. Значит, максимальная площадь прямоугольника равна 80. Ответ: Площадь наибольшего прямоугольника, вписанного в треугольник с основанием 10 и высотой 8, равна 80.