Для начала построим треугольник ABC, где AB:BC:AC=4:3:6.
Затем найдем точку L как середину стороны AB и точку K как середину стороны BC.
Далее проведем биссектрисы AD и CH.
Пусть точка M – точка пересечения биссектрисы AD и отрезка LK, а точка N – точка пересечения биссектрисы CH и отрезка LK.
Нам нужно найти отношение AC к NM.
Обратимся к свойствам биссектрисы:
Биссектриса AD делит сторону BC пропорционально отношению BC:AC.
Биссектриса CH делит сторону AB пропорционально отношению AB:AC.
В треугольнике ABC построим биссектрису AE, которая пересечет сторону BC в точке E.
Из соотношения биссектрисы AD получаем, что BK_KC=AB:AC=4:6=2:3.
Из соотношения биссектрисы CH получаем, что AL_LB=AC:AB=6:4=3:2.
Получаем, что BK:KC:AL:LB=2:3:3:2=4:6:6:4=1:1:3:3.
По теореме Ван Области точка M делит отрезок LK в отношении длин LM:MK, равном отношению соответствующих сторон треугольников AEL и BEC.
Так как AE_EC=AL:LB=3:3=1:1, то и LM_MK=1:1.
Аналогично, по теореме Ван Области точка N делит отрезок LK в отношении длин LN:NK, равном отношению соответствующих сторон треугольников ACH и CBK.
Так как AC_CB=6:3=2:1 и AH_HB=AC:AB=6:4=3:2, то и LN_NK=2:1.
Таким образом, отношение AC:NM = AC:(LM + MN) = AC:(LN+MK) = 6:((LN+MK)/AC) = 6:(1+2) = 6:3 = 2:1.
Ответ: AC:NM = 2:1.
