В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь четырёхугольника ABMN равна 24. Найдите площадь треугольника ABC.

Пусть стороны треугольника ABC равны a, b и c. Площадь треугольника ABC можно выразить через площади треугольников AMN и BMN. Поскольку AMN и BMN являются половинами треугольников ABC и AMN + BMN = ABMN, то площадь треугольника ABC равна удвоенной площади треугольника AMN и треугольника BMN.

Пусть h1 и h2 – высоты треугольников ABC и AMN соответственно.

Площадь треугольника ABC равна (1/2) * a * h1
Площадь треугольника AMN равна (1/2) * (1/2) * a * h2 = (1/4) * a * h2
Площадь четырёхугольника ABMN равна (1/2) * a * h2 + (1/2) * b * h2 = (1/2) * (a + b) * h2

Поскольку площадь четырёхугольника ABMN равна 24, то:
(1/2) * (a + b) * h2 = 24
(a + b) * h2 = 48

Используем теперь равенство площадей треугольников ABC и AMN:
(1/2) * a * h1 = 2 * ((1/4) * a * h2)
a * h1 = (1/2) * a * h2
h1 = (1/2) * h2

Теперь можем записать выражения для площадей треугольников ABC и AMN через h2:
Площадь треугольника ABC = 2 * (1/2) * a * h1 = a * ((1/2) * h2) = (1/2) * a * h2
Площадь треугольника AMN = (1/4) * a * h2

Заметим, что 2 * (Площадь треугольника AMN) + (1/2) * (Площадь треугольника ABC) = 2 * ((1/4) * a * h2) + (1/2) * a * h2 = (1/2) * (a + 2a) * h2 = (3/2) * a * h2 = 48

Таким образом,
(3/2) * a * h2 = 48
a * h2 = 32

Подставим данное значение в уравнение (a + b) * h2 = 48:
(32 / a + b) * h2 = 48
(32 / a + b) * 32 = 48
32^2 = 48 * (a + b)
1024 = 48 * (a + b)
a + b = 1024 / 48
a + b = 64/3

Таким образом, площадь треугольника ABC равна:
(1/2) * a * h1 = (1/2) * (64/3) * (1/2) * h2 = 16/3 * h2

Ответ: площадь треугольника ABC равна 16/3 * h2.