Мы знаем, что медиана BM делит сторону AC пополам. Значит, AM = MC = 84/2 = 42.
Также, известно, что высота BH перпендикулярна стороне AC и проходит через вершину B.
Используем теорему Пифагора в треугольнике ABH:
AB^2 + BH^2 = AH^2
Так как AB = AC – BC и AM = MC, мы можем выразить AH через известные значения:
(AC – BC)^2 + BH^2 = AH^2
(84 – BC)^2 + BH^2 = AH^2
Теперь нам нужно использовать свойство, что медиана BM делит сторону AC пополам:
BC = BM = 2/3 * AM = 2/3 * 42 = 28
Подставляем полученное значение в уравнение:
(84 – 28)^2 + BH^2 = AH^2
56^2 + BH^2 = AH^2
3136 + BH^2 = AH^2
Теперь нам нужно использовать свойство, что высота BH и медиана BM являются перпендикулярными:
AH^2 + BH^2 = AB^2
Подставляем полученное значение в уравнение:
AH^2 + BH^2 = 84^2
AH^2 + BH^2 = 7056
Заменяем AH^2 на 3136 + BH^2, так как мы выражали его ранее:
3136 + BH^2 + BH^2 = 7056
2BH^2 = 7056 – 3136
2BH^2 = 3920
BH^2 = 3920/2
BH^2 = 1960
BH = √1960 = 44.27
Теперь, чтобы найти AH, мы можем подставить BH в уравнение AH^2 + BH^2 = 7056:
AH^2 + 44.27^2 = 7056
AH^2 + 1960 = 7056
AH^2 = 7056 – 1960
AH^2 = 5096
AH = √5096 = 71.41
Таким образом, AH = 71.41.
