Чтобы доказать, что треугольники AOH и BOM подобны, нужно показать, что у них соответствующие углы равны, и что их стороны пропорциональны.
Для начала, заметим, что у треугольников AOH и BOM есть две пары равных углов: углы OAH и OBM являются прямыми углами, а углы AHO и BMO являются прямыми углами, так как OM и AH являются высотами треугольника ABC.
Далее, чтобы показать, что стороны треугольников пропорциональны, вспомним, что в треугольнике ABC высоты AM и BH делят его на 6 маленьких треугольников: AMB, BMC, CMA, AOH, BHO и COH. Поскольку эти треугольники имеют общую высоту OH, их площади пропорциональны их основаниям.
Таким образом, площадь треугольника AOH можно записать как S(AOH) = S(AMB) + S(CMA), а площадь треугольника BOM можно записать как S(BOM) = S(BMC) + S(CMA). Поскольку S(AMB) = S(BMC) (они имеют одинаковую высоту OH и одинаковые основания), мы можем записать, что S(AOH) = S(BOM) + S(CMA). Это означает, что S(AOH) и S(BOM) пропорциональны.
Таким образом, у нас есть равные углы и пропорциональные стороны, что означает, что треугольники AOH и BOM подобны.