Пусть точка H – точка пересечения высот треугольника ABC. По свойству биссектрисы BM/BK = EM/EK. Так как BM + BM = BE, то искомое отношение площадей равно (BM + MK)/MK. Из предыдущего равенства EM/EK = BM/BK = 2/3 следует, что EM = 2EK/3 и, следовательно, EH = 2HK/3. Заметим, что треугольник MKE подобен треугольнику HKA и, значит, MK/KA = EK/HK = 3/2. Обозначим через S площадь треугольника HEK. Тогда площадь треугольника ABC равна площади треугольника AHE + площади треугольника HEB + площади треугольника MKE + площади треугольника BMK = (2/3)S + (1/2)S + (3/5)S + S = (61/30)S. Итак, искомое отношение площадей равно 61/30.
