Решение:
1. Из угла B = 60∘ следует, что треугольник ABC является равносторонним. Пусть его сторона AB = BC = AC = a.
2. Так как KN∥AC, то треугольники CKL и CNM равноплечие. Значит, CL = CM и KL = KM.
Из условия KL = LM = MN следует, что KL = LM = MN = x.
3. Так как AY – биссектриса угла B, то треугольники ABY и YBC подобны.
Из подобия следует, что AY/AB = CY/BC = x/a.
Отсюда получаем, что AY = (x/a) * AB = (x/a) * a = x.
4. Аналогично, так как CX – биссектриса угла B, то треугольники BCX и XCA подобны.
Так как AB = BC = AC = a, то BX = XC = a/2.
Из подобия следует, что CX/BC = AX/AC = a/2/a = 1/2.
Отсюда получаем, что CX = (1/2) * BC = (1/2) * a = a/2.
5. Рассмотрим треугольник CYN. Так как AY∥CX, то по теореме Талеса получаем:
CY/CN = AY/KN = x/9.
Отсюда следует, что CY = CN * (x/9).
6. Рассмотрим треугольник CNX. Из пункта 4 следует, что CX = a/2.
Так как CX∥NK, то по теореме Талеса получаем:
CY/CN = CX/KL = (a/2)/x.
Отсюда следует, что CN = CY * (x/(a/2)) = 2 * CY * (x/a).
7. Подставим выражение из пункта 5 в пункт 6:
CN = 2 * (CN * (x/9)) * (x/a) = 2 * (CN * x^2)/(9a).
Упростим выражение: 9a * CN = 2 * CN * x^2.
Получаем, что CN = (2 * x^2)/(9a).
8. Из условия задачи известно, что KN = 9.
Подставим в полученное выражение для CN: 9 = (2 * x^2)/(9a).
Решим это уравнение относительно x: 9 * 9a = 2 * x^2.
Получаем, что x^2 = (81 * a)/2.
Возьмем квадратный корень от обеих сторон: x = √((81 * a)/2).
9. Найдем длину отрезка CN, подставив полученное значение x в выражение в пункте 7:
CN = (2 * (√((81 * a)/2))^2)/(9a) = (2 * (81 * a)/2)/(9a) = 81/9 = 9.
10. Таким образом, длина отрезка CN равна 9.
11. Чтобы найти длину отрезка AC, рассмотрим треугольник ABC.
Так как треугольник ABC равносторонний, сторона AC = a.
Таким образом, длина отрезка AC равна a.
12. Ответ: длина отрезка CN равна 9, а длина отрезка AC равна a.