(1) Для нахождения координат вершины B воспользуемся уравнением стороны AB. Мы знаем, что AB имеет уравнение y = – 3/4 * x + 3. Подставим точку B(x, y) в это уравнение:
y = – 3/4 * x + 3
Поскольку вершина B лежит на оси x, y = 0. Подставим это значение:
0 = – 3/4 * x + 3
Избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 4:
0 = – 3x + 12
Перенесем -3x на правую сторону:
3x = 12
Разделим обе части уравнения на 3:
x = 4
Таким образом, координата x вершины B равна 4. Подставим это значение в уравнение стороны AB:
y = – 3/4 * 4 + 3
y = – 3 + 3
y = 0
Таким образом, координаты вершины B равны (4, 0).
(2) Для нахождения координат вершины C воспользуемся геометрическим свойством треугольника ABC. Координата вершины C будет находиться на оси x и будет иметь тот же x-координату, что и вершина B. Поэтому координаты вершины C равны (4, 0).
Далее, для нахождения уравнения медианы BD нам понадобятся координаты вершин B и C. Координаты вершины B мы уже нашли, а координаты вершины C равны (4, 0).
Уравнение медианы BD можно найти, найдя середину стороны AC и затем подставив координаты точки D в уравнение прямой. Так как AC – это горизонтальная линия, то середина стороны AC будет иметь координаты (8, -6/2) или (8, -3).
Теперь находим уравнение прямой, проходящей через точки B(4, 0) и D(8, -3). Используем формулу уравнения прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2):
y – y1 = (y2 – y1)/(x2 – x1) * (x – x1)
Подставляем значения B(4, 0) и D(8, -3):
y – 0 = (-3 – 0)/(8 – 4) * (x – 4)
y = -3/4 * (x – 4)
Таким образом, уравнение медианы BD равно y = -3/4 * (x – 4).
Для доказательства того, что медиана BD перпендикулярна AC, нам нужно показать, что произведение их коэффициентов наклона равно -1. Коэффициент наклона медианы BD равен -3/4, а коэффициент наклона AC равен 0 (так как AC – горизонтальная линия). Произведение -3/4 и 0 равно 0, значит, медиана BD перпендикулярна AC.
Наконец, чтобы найти площадь треугольника ABC, воспользуемся формулой площади треугольника по координатам вершин:
Площадь = 1/2 * |x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)|
Подставляем координаты вершин A(12, -6), B(4, 0) и C(4, 0):
Площадь = 1/2 * |12(0 – 0) + 4(0 – (-6)) + 4((-6) – 0)|
= 1/2 * |0 + 4(6) + 4(-6)|
= 1/2 * |0 + 24 – 24|
= 1/2 * 0
= 0
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 0. Вершины B и C совпадают с вершиной A на оси x, поэтому треугольник вырожденный и его площадь равна 0.