Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Для начала, найдем длины оставшихся сторон треугольника. Так как угол ACB равен 120°, то треугольник ABC является равносторонним. Это значит, что все его стороны равны между собой. Значит, АВ = AC = BC.
Так как АС = 6, а ВС = 4, то АВ = 6 + 4 = 10.
Теперь, чтобы найти длину медианы СМ, нам нужно найти длину его половины – отрезка СМ’, где М’ – середина стороны АВ.
Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины сторон треугольника СМ’С:
М’С = АВ / 2 = 10 / 2 = 5.
Так как треугольник СМ’С равнобедренный, где С’М’ = М’С = 5, его угол С’СМ’ равномерно делится на два прямых угла.
Теперь мы можем использовать теорему косинусов. В треугольнике С’СМ’:
С’М^2 = С’С^2 + М’С^2 – 2 * С’С * М’С * cos(60°),
где С’М и М’С – длины сторон треугольника С’СМ’, С’С = AC / 2 = 6 / 2 = 3.
Подставляя значения, получаем:
С’М^2 = 3^2 + 5^2 – 2 * 3 * 5 * cos(60°).
С’М^2 = 9 + 25 – 30 * 0.5,
С’М^2 = 9 + 25 – 15,
С’М^2 = 34.
Таким образом, длина медианы СМ равна:
СМ = 2 * √34 ≈ 2 * 5.83 ≈ 11.66.