В треугольнике ABC вписана окружность с центром O в точке O высота AM проходит через точку O, AM_BC=2:3, P∆ABC=64. Найдите радиус вписанной окружности.

Дано:
– В треугольнике ABC вписана окружность с центром O.
– Высота AM проходит через точку O.
– Отношение длин отрезков AM и BC равно 2:3.
– Площадь треугольника ABC равна 64.

Нам нужно найти радиус вписанной окружности.

Шаги решения:
1. Используем свойство вписанной окружности, согласно которому точка пересечения высот треугольника лежит на окружности.
2. Обозначим радиус вписанной окружности через r.
3. Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами: через радиус вписанной окружности и через длины сторон треугольника:
P(∆ABC) = r * p, где p – полупериметр треугольника ABC.
4. Полупериметр p выражается через длины сторон треугольника ABC следующим образом:
p = (AB + BC + CA) / 2.
5. Разделим выражение для площади треугольника ABC через радиус на выражение для площади треугольника ABC через длины сторон:
r * p = 64 / (AB + BC + CA) / 2.
6. Заменим длину отрезка BC через отношение длин отрезков AM и BC:
BC = 3AM / 2.
7. Заменим полупериметр p через длины сторон треугольника ABC используя выражение из пункта 6:
p = (AB + 3AM / 2 + CA) / 2.
8. Заменим полупериметр p в выражении для радиуса из пункта 5:
r * (AB + 3AM / 2 + CA) / 2 = 64 / (AB + 3AM / 2 + CA) / 2.
9. Упростим уравнение, умножив обе части на 2:
r * (AB + 3AM / 2 + CA) = 64 / (AB + 3AM / 2 + CA).
10. Умножим обе части уравнения на (AB + 3AM / 2 + CA):
r * (AB + 3AM / 2 + CA) * (AB + 3AM / 2 + CA) = 64.
11. Раскроем скобки:
r * (AB^2 + (3AM / 2)^2 + CA^2 + 3