Для решения задачи без использования синусов, косинусов и теоремы Пифагора мы будем использовать свойство площадей подобных фигур.
1. Рассмотрим треугольники ABC и ACE. Они имеют общую высоту AE, а углы ABC и AEC при основании равны.
2. Из свойства площадей подобных фигур следует, что отношение площадей треугольников ABC и ACE равно квадрату отношения их оснований:
S(ABC) / S(ACE) = (BC / EC)^2.
3. Треугольники ABC и AKC также имеют общую высоту, а углы ABC и AKC при основании равны.
4. По тому же свойству площадей, отношение площадей треугольников ABC и AKC равно квадрату отношения их оснований:
S(ABC) / S(AKC) = (BC / AK)^2.
5. Объединим уравнения (2) и (4):
(BC / EC)^2 = (BC / AK)^2.
6. Упростим уравнение, возводя обе части в квадрат:
BC^2 / EC^2 = BC^2 / AK^2.
7. Сократим BC^2 на обеих сторонах уравнения:
1 / EC^2 = 1 / AK^2.
8. Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
1 / EC = 1 / AK.
9. Умножим обе части уравнения на EC * AK:
AK = EC.
Таким образом, мы получаем, что отрезок AK равен отрезку EC. Это означает, что отрезок EK делит площадь треугольника ABC пополам.
Ответ: Отношение площадей треугольника ACE и треугольника EKC равно 1:1.