В треугольнике АВС, О точка пересечения биссектрис. Точка Е лежит на АС. Точка К не лежит в плоскости треугольника. При каком условии точки В, О, Е, К лежат в одной плоскости?

Предположим, что точки В, О, Е и К лежат в одной плоскости.
Для того чтобы точки В, О, Е и К лежали в одной плоскости, нужно, чтобы прямая ОК пересекала плоскость, содержащую треугольник АВЕ, по прямой ВО. Иначе говоря, прямая ОК должна быть перпендикулярна плоскости треугольника АВЕ.

Основываясь на свойствах биссектрисы треугольника, можно сделать следующие выводы:
1. Прямая ВО является биссектрисой угла В в треугольнике АВС.
2. Точка О является центром окружности, описанной около треугольника АВС.
3. Прямая ЭК является внешней биссектрисой угла АКС в треугольнике АКС.
4. Плоскость, содержащая треугольник АВЕ, перпендикулярна прямой ВО, так как биссектриса угла В перпендикулярна плоскости, содержащей сторону АС.

Таким образом, чтобы точки В, О, Е и К лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы прямая ЭК также была перпендикулярна плоскости, содержащей треугольник АВЕ.

То есть, итоговым условием будет: прямая ЭК параллельна плоскости, содержащей сторону АС треугольника АВС.

Таким образом, точки В, О, Е и К лежат в одной плоскости, если прямая ЭК параллельна плоскости, содержащей сторону АС треугольника АВС.