Для решения данной задачи воспользуемся свойствами медианы треугольника.
1. Найдем длину стороны АB:
Поскольку AM – медиана треугольника, то ее длина равна половине длины стороны BC.
Значит, AM = BC/2 = 10/2 = 5.
Так как AM является высотой треугольника ABC, то он образует прямой угол с основанием BC.
Теперь посмотрим на прямоугольный треугольник AMB. Угол BMA равен 90 градусов.
Зная длину катета AM (5) и значение угла BMA (90 градусов), можем применить теорему синусов:
AB/sin(90°) = AM/sin(BMA).
Так как sin(90°) = 1, то получаем AB = AM/sin(BMA) = 5/sin(BMA).
В данном случае sin(BMA) = sin(45°), так как угол BMA равен 45 градусам.
Получаем: AB = 5/sin(45°) = 5/√2 = 5√2/2.
2. Найдем площадь треугольника ABC:
Поскольку AM является медианой треугольника, то точка M делит медиану AM на две равные части.
Значит, AM = MC = 5.
Площадь треугольника ABC равна половине произведения длин медианы и основания.
То есть S_ABC = (AB * AM) / 2.
Подставляем известные значения: S_ABC = (5√2/2 * 5) / 2 = (25√2) / 4.
Итак, площадь треугольника ABC равна (25√2) / 4, а длина стороны AB равна 5√2/2.