Пусть сторона АМ равна а. Так как D и M – середины сторон AB и BC соответственно, то AM = MB = а/2 и MC = CM = а/2.
По условию задачи, BD = DM, а значит треугольник BDM является равнобедренным.
Так как основание равнобедренного треугольника равностороннего, то BM = MD = а/2.
AD является высотой треугольника ABC, значит, она перпендикулярна стороне BC. Пусть точка пересечения AD и BC обозначается буквой E.
Так как MD = BM и AD – высота, то точка D — основание перпендикуляр, опущенного из вершины A на сторону BC, а значит, BD = DC = а/2.
Так как BC = BD + DC = а/2 + а/2 = а, то треугольник ABC — равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины, равна половине основания треугольника. Так как BM является медианой, BM = AB/2 = а/2.
Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике ABD можно записать соотношение:
AB^2 = AD^2 + BD^2.
Так как MD = BM и AD – высота, то BM = MD = MD = а/2, и соотношение принимает вид:
AB^2 = AD^2 + (а/2)^2
Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ADC:
AC^2 = AD^2 + CD^2.
Так как DC = BM = а/2 и AC = 48, соотношение принимает вид:
(48)^2 = AD^2 + (а/2)^2.
Теперь имеем систему уравнений:
AB^2 = AD^2 + (а/2)^2,
(48)^2 = AD^2 + (а/2)^2.
Преобразуя второе уравнение, получаем:
AD^2 = (48)^2 – (а/2)^2.
Подставляем значение AD^2 из второго уравнения в первое:
AB^2 = (48)^2 – (а/2)^2 + (а/2)^2.
AB^2 = (48)^2.
AB = 48.
Таким образом, сторона AB равна 48.