Пусть точки D и E являются серединами сторон AB и AC треугольника ABC соответственно. Также пусть точка F является серединой стороны BC.
Так как точка М является точкой пересечения медиан треугольника, то она делит каждую медиану в отношении 2:1. Это означает, что отрезок AM в 2 раза больше, чем отрезок MN, а отрезок BM тоже в 2 раза больше, чем отрезок MF.
Так как отношение площадей двух треугольников равно отношению длин их основ, можем записать: площадь треугольника АВМ / площадь треугольника ВМС = AM / BM.
Так как площадь треугольника АВМ равна 15 см², AM/BM = 2. Значит AM равно двум частям, а BM равно одной части.
Также известно, что AM = 2MN и BM = 2MF.
Таким образом, AM = 2MN = 2MF = 4 медианы MF.
Теперь рассмотрим треугольник АМF и треугольник АВС. Они имеют общие высоты и основания.
Таким образом, площадь треугольника АМФ равна 4 раза площади треугольника АФС.
Так как площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников АМФ и АФС, и площадь треугольника АМФ равна 4 раза площади треугольника АФС, то площадь треугольника АВС равна 5 раз площади треугольника АФС.
Так как площадь треугольника АВМ равна 15 см², площадь треугольника АФС также равна 15 см² / 5 = 3 см².
Таким образом, площадь треугольника АВС равна 5 * 3 см² = 15 см².