В треугольнике АВС со сторонами АВ = 4 и АС = 7 взята точка К на стороне ВС так, что АК – биссектриса. На АК выбрана точка М так, что АМ:МК – 2:3. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника КВМ равна 12.

Площадь треугольника КВМ равна 12, поэтому можно записать следующее равенство:

S(КВМ) = 12

Значит, площадь треугольника КВМ равна половине произведения длин стороны КМ и высоты, опущенной на эту сторону. Значит, можно записать:

12 = 0.5 * KM * h

Строим перпендикуляр из вершины К треугольника КВМ на сторону АВ треугольника АВС и обозначим точку пересечения через L.

Строим также перпендикуляр из вершины К треугольника КВМ на сторону АС треугольника АВС и обозначим точку пересечения через N.

Пусть KM = x и AM = 2x, тогда АК = 5x и МК = 3x.

Так как АК – биссектриса из угла А треугольника АВС, то применим теорему биссектрисы:

AB : AC = BK : KC

4 : 7 = 2x : 5x

Решив данное уравнение, получаем:

x = 4/7

Теперь можем найти другие стороны треугольника КВМ:

КМ = 3x = 12/7

ML = AK / (AB + AC) * BM = (5x / (4 + 7)) * 2x = 10x^2 / 11

NL = AK / (AB + AC) * CN = (5x / (4 + 7)) * 3x = 15x^2 / 11

Теперь можем найти площади треугольников АКМ и КМЛ:

S(АКМ) = 0.5 * (AK * KM) = 0.5 * (5x * 3x) = 7.5x^2 = 7.5 * (16/49) = 120/49

S(КМЛ) = 0.5 * (KM * ML) = 0.5 * ((12/7) * (10x^2 / 11)) = (60/77) * (16/49) = 960/3383

Теперь можем найти площадь треугольника АВС, вычитая площади треугольников АКМ и КМЛ из площади треугольника АВС:

S(АВС) = S(АВС) – S(АКМ) – S(КМЛ) = 12 – 120/49 – 960/3383 = 1056/983

Получаем, что площадь треугольника АВС равна 1056/983.