Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором АС=ВD=20 и меньшая диагональ равна 10 см. Пусть точки P и Q – середины сторон AD и BC соответственно.
1. Найдем длину диагонали BD. Поскольку ABCD – выпуклый четырехугольник, то диагональ BD является отрезком, соединяющим вершины, не принадлежащие одной стороне. Таким образом, BD является диагональю, соединяющей точки A и C. Из условия известно, что АС = ВD = 20.
2. Дано, что длина диагонали PQ равна 10 см. Так как P и Q – середины сторон AD и BC соответственно, то PQ является отрезком, соединяющим середины противоположных сторон.
3. Проведем диагонали AC и BD в четырехугольнике ABCD.
4. Заметим, что треугольники PQC и AQB являются подобными, так как имеют соответственные стороны, пропорциональные. То есть отношение длин отрезков PQ и QB равно отношению длин отрезков QC и AB.
5. Из подобия треугольников PQC и AQB можно записать следующее уравнение пропорции: PQ/QB = QC/AB.
6. Заменим значения PQ (10 см) и QC (половина стороны АС, то есть 20/2 = 10 см) в уравнении пропорции: 10/QB = 10/AB.
7. Сократим равные значения в числителях и получаем уравнение: 1/QB = 1/AB.
8. Из уравнения получаем, что QB = AB.
9. Таким образом, отрезок QB, который является диагональю четырехугольника ABCD, равен отрезку AB.
10. Известно, что АС = BD = 20, значит, отрезки AB и BD равны, поэтому QB = BD = 20.
11. Таким образом, угол между диагоналями четырехугольника ABCD равен 180 градусов.