Рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB и CD – параллельные стороны параллелограмма, а AC и BD – диагонали.
Пусть M и N – середины сторон AD и BC соответственно, и AM и CN соединены отрезком MN.
Так как AM и CN – медианы параллелограмма, то точка пересечения MN и AC является их общим центром.
Также, по условию задачи, отрезки AM и CN перпендикулярны друг другу.
Возьмем точку O – центр пересечения диагоналей AC и BD.
Очевидно, что треугольники AOM и CON подобны по двум углам, так как угол O равен прямому углу, а углы АOM и CON имеют равные углы при основании, так как AM и CN перпендикулярны.
Следовательно, треугольники AOM и CON подобны с коэффициентом соответствующих сторон AM и CN.
Так как точка O является центром пересечения диагоналей, то отношение AM к CN равно отношению AO к CO.
Теперь рассмотрим параллелограмм BCD.
Аналогично доказывается, что треугольники BOM и COD подобны по двум углам. Значит, отношение BO к CO также равно отношению BM к DM (где D и M – середины сторон AD и BC соответственно).
Таким образом, у нас есть два равных отношения: AO/CO и BO/CO.
Перенесем второе отношение в первое, делением равных отношений: AO/CO = BO/CO => AO = BO.
То есть, очевидно, что точка O является серединой отрезка AB. Аналогично, она является серединой отрезка CD.
Таким образом, диагональ AC делится точкой O на две равные части, аналогично, диагональ BD также делит O на две равные части.
Отношение диагоналей AC:BD равно 1:1.