Вершины А и С треугольника АВС принадлежат плоскости альфа, а вершина В не принадлежит этой плоскости. На сторонах АВ и ВС отмечены соответственно точки Е и Ртак, что ВА : ВЕ = ВС: BF. Докажите, что прямая EF параллельна плоскости альфа

Пусть точка D – это точка пересечения прямой АС с плоскостью альфа. Точка E принадлежит прямой АВ, поэтому отношение ВА : ВЕ = ВА : ВД. Аналогично, точка F принадлежит прямой VC, поэтому отношение ВС : BF = ВС : ВD.

Пусть α – это угол между прямыми АС и EF. Так как угол между прямыми ВА и ВС равен α, а отношение сторон ВА : ВЕ = ВС : BF, то треугольники ВАЕ и ВСF подобны (по пропорциональности сторон).

Вследствие собственности подобных треугольников, угол между прямыми EF и ВД также равен α. Но ВД – это линия, лежащая в плоскости α. Так как прямая EF пересекает плоскость α под углом α, то она параллельна этой плоскости.

Таким образом, доказано, что прямая EF параллельна плоскости α.