Для доказательства, что данный четырёхугольник является прямоугольником, нужно проверить, являются ли все его углы прямыми.
1. Найдем длины сторон четырёхугольника:
a = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) = √((-2 – 0)² + (4 – 1)²) = √4 + 9 = √13
b = √((x₄ – x₃)² + (y₄ – y₃)²) = √((6 – 4)² + (5 – 8)²) = √4 + 9 = √13
c = √((x₃ – x₁)² + (y₃ – y₁)²) = √((4 – 0)² + (8 – 1)²) = √16 + 49 = √65
d = √((x₄ – x₂)² + (y₄ – y₂)²) = √((6 – (-2))² + (5 – 4)²) = √64 + 1 = √65
2. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для данного четырёхугольника.
Для этого нужно сравнить значения a² + b² и c² + d²:
a² + b² = (√13)² + (√13)² = 13 + 13 = 26
c² + d² = (√65)² + (√65)² = 65 + 65 = 130
Так как a² + b² ≠ c² + d², то теорема Пифагора не выполняется. Значит, данный четырёхугольник не является прямоугольником.
3. Найдем косинус угла между диагоналями четырёхугольника.
Косинус угла между двумя векторами можно вычислить по формуле: cos(θ) = (a · c) / (||a|| × ||c||), где a и c – векторы, и ||a|| и ||c|| – их длины.
a = (x₂ – x₁, y₂ – y₁) = (-2 – 0, 4 – 1) = (-2, 3)
c = (x₄ – x₃, y₄ – y₃) = (6 – 4, 5 – 8) = (2, -3)
||a|| = √((-2)² + 3²) = √4 + 9 = √13
||c|| = √2² + (-3)² = √4 + 9 = √13
(a · c) = (-2 * 2) + (3 * -3) = -4 – 9 = -13
cos(θ) = (-13) / (√13 * √13) = -13 / 13 = -1
Таким образом, косинус угла между диагоналями четырёхугольника равен -1.
4. Найдем площадь прямоугольника.
Площадь прямоугольника можно найти, используя формулу:
S = а * b, где а и b – длины его сторон.
S = √13 * √13 = 13
Таким образом, площадь прямоугольника равна 13.