Вне плоскости α расположен треугольник АВС,у которого медианы АА₁ и ВВ₁ параллельны плоскости α. Через вершины В и С проведены параллельные прямые,пересекающие плоскость α, соответсвенно в точках E и F. Доказать: ECBF — параллелограмм

Для доказательства того, что четырехугольник ECBF является параллелограммом, мы должны показать, что его противоположные стороны параллельны.

1. Обозначим точку пересечения медиан треугольника АВС за точку О.

2. Поскольку медианы АА₁ и ВВ₁ параллельны плоскости α, точка О также будет лежать на этой плоскости.

3. Поскольку точка О является точкой пересечения медиан треугольника АВС, она делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, ОA₁ = 2AО и ОВ₁ = 2BО.

4. Таким образом, мы можем записать векторное равенство: AО + ОХ = АО + ОВ₁, где Х – точка пересечения прямой BC с плоскостью α.

5. Поскольку мы знаем, что AО равно половине медианы АА₁, это означает, что AО = 1/2AА₁.

6. Подставив это значение, мы получаем следующее векторное равенство: 1/2АА₁ + ОХ = 1/2АА₁ + ОВ₁.

7. Поскольку ОВ₁ = 2BО и 1/2АА₁ и 1/2АА₁ сокращаются, это влечет ОХ = 2BО.

8. Таким образом, мы получаем, что вектор ОХ равен вектору ОВ₁, что означает, что сторона EC параллельна стороне FB.

9. Аналогично, можно показать, что сторона EB параллельна стороне FC.

10. Итак, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника ECBF (EC и FB, EB и FC) параллельны.

11. Следовательно, четырехугольник ECBF является параллелограммом.