Для доказательства того, что четырехугольник ECBF является параллелограммом, мы должны показать, что его противоположные стороны параллельны.
1. Обозначим точку пересечения медиан треугольника АВС за точку О.
2. Поскольку медианы АА₁ и ВВ₁ параллельны плоскости α, точка О также будет лежать на этой плоскости.
3. Поскольку точка О является точкой пересечения медиан треугольника АВС, она делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, ОA₁ = 2AО и ОВ₁ = 2BО.
4. Таким образом, мы можем записать векторное равенство: AО + ОХ = АО + ОВ₁, где Х – точка пересечения прямой BC с плоскостью α.
5. Поскольку мы знаем, что AО равно половине медианы АА₁, это означает, что AО = 1/2AА₁.
6. Подставив это значение, мы получаем следующее векторное равенство: 1/2АА₁ + ОХ = 1/2АА₁ + ОВ₁.
7. Поскольку ОВ₁ = 2BО и 1/2АА₁ и 1/2АА₁ сокращаются, это влечет ОХ = 2BО.
8. Таким образом, мы получаем, что вектор ОХ равен вектору ОВ₁, что означает, что сторона EC параллельна стороне FB.
9. Аналогично, можно показать, что сторона EB параллельна стороне FC.
10. Итак, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника ECBF (EC и FB, EB и FC) параллельны.
11. Следовательно, четырехугольник ECBF является параллелограммом.