Внутри развернутого угла АОВ выбрали лучи OD и ОС таким образом, что угол АОС вдвое больше угла BOD большего 60°. Докажите, что угол между биссектрисами углов AOD и DOC равен углу BOD.

Дано: Развернутый угол АОV, угол АОС вдвое больше угла BOD.
Требуется доказать: Угол между биссектрисами углов AOD и DOC равен углу BOD.

Доказательство:

1) Докажем, что углы BOD и AOS равны.
Пусть угол BOD равен x градусам. Тогда угол AOS будет равен 2x градусам (по условию).

2) Заметим, что угол AOS является внешним по отношению к треугольнику DOC, а угол BOD является внешним по отношению к треугольнику AOD.

3) По свойству внешних углов треугольников:
– угол DOC равен сумме двух внутренних углов треугольника AOD (т.е. DOC = x + x = 2x);
– угол AOD равен сумме двух внутренних углов треугольника DOC (т.е. AOD = 2x + 2x = 4x).

4) Так как AOS = 2x и DOC = 2x, то AOS = DOC.

5) Углы AOD и DOC имеют общую биссектрису OD.

6) Так как углы AOD и DOC равны, и у них есть общая биссектриса OD, то между биссектрисами углов AOD и DOC будет угол величиной в половину AOD и DOC, то есть угол BOD.

Таким образом, угол между биссектрисами углов AOD и DOC равен углу BOD. Задача доказана.