Вокруг треугольника АВС описана окружность. Точки М, N, К соответственно – средины дуг АВ, ВС, АС, на которые точки А, В, С делят окружность. Докажите, что отрезки MN и ВК перпендикулярны.

Чтобы доказать, что отрезки MN и VK перпендикулярны, мы можем использовать теорему о перпендикулярности касательных и хорд на окружности.

Для начала, заметим, что треугольник МНК – это треугольник Фейербаха со сторонами, параллельными сторонам начального треугольника АВС. Также известно, что центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник МНК. Обозначим этот центр как О.

Теперь рассмотрим касательные к описанной окружности, проведенные в точках М и К. Из свойств окружности следует, что касательные к окружности, проведенные в точках М и К, имеют общую точку на основании ВК. Пусть эта точка общего пересечения будет обозначена как Р.

Так как точки М, Н и К – это средние точки дуг АВ, ВС и АС, значит, они лежат на окружности Фейербаха. Следовательно, М, Н и К также лежат на окружности, вписанной в треугольник АВС. Из свойств вписанной окружности следует, что отрезки МО и НО являются радиусами этой окружности и перпендикулярны соответственно к отрезку АВ и ВС. Значит, МО перпендикулярен АК и НО перпендикулярен БК.

Поскольку отрезки МО и НО перпендикулярны к отрезкам АК и БК, соответственно, а отрезок МН является радиусом окружности, вписанной в треугольник МНК, то также справедлива теорема о перпендикулярности касательных и хорд на окружности. Это значит, что отрезок КР является диаметром окружности, вписанной в треугольник МНК.

Следовательно, отрезки МН и ВК перпендикулярны.