Пусть ABCD – треугольная пирамида, в которой AD = BD = CD. Пусть M – середина ребра BC и N – середина ребра CD. Медианой треугольника ABC является отрезок AM.
Необходимо найти угол между медианой AM и медианой BM, проведенными в плоскости BCD.
Рассмотрим треугольник BCD. Так как BM – медиана, то BM делит сторону CD пополам, то есть, DN = NC.
Рассмотрим треугольник BAM. Так как AM – медиана, то AM делит сторону BC пополам, то есть, BM = MC.
Исходя из равенств DN = NC и BM = MC, получаем, что треугольники BND и CMB являются равнобедренными.
Таким образом, угол NBM равен углу MCB (по свойству равнобедренных треугольников).
Угол NBM и угол MCB оба являются углами основания пирамиды BCD, которые в сумме дают 180 градусов.
Следовательно, угол между медианой AM и медианой BM равен половине угла BCD, то есть 180/2 = 90 градусов.
Итак, угол между медианой одной из граней пирамиды и скрещивающей ее медианой другой грани равен 90 градусов.